2016-10-11

週報 #2

休日を自堕落に過ごしているうちにめっきり寒くなってきました．
体調も何もかも崩壊しつつあるのでとりあえず最低限．

2016/10/03

まとまってないけどメモ。複素化って何とTA氏に聞いたところ実ベクトル束から複素ベクトル束を得るときに使う、そのときテンソルをやってなくてもできるようにV \oplus iVで導入する教科書が多い、という話だった。
— meta / youdie (@meta9D4N) 2016年10月3日

先日までの話題に関連して．

2016/10/04

今日のまとめ
部分空間の次元算
— meta / youdie (@meta9D4N) 2016年10月4日

演習問題を解いた際に紹介された別解．

2016/10/05

今日のまとめ
接束にベクトル場、余接束に微分形式
— meta / youdie (@meta9D4N) 2016年10月5日

（ここに接束と余接束を用いたベクトル場と微分形式の定義が入る）

2016/10/06

□ 虚無
☑︎ どちらかというと虚無
□ どちらかというと虚無ではない
□ 虚無ではない
— meta / youdie (@meta9D4N) 2016年10月6日

2016/10/07

この日は休講なので虚無．
（これがまかり通るようではいけない）

2016-10-01

週報 #1

Weekly matome

週報です

です．

2016/09/27

今日のまとめ
complificationはテンソル積 E ⊗_ℝ ℂ ！
— meta / youdie (@meta9D4N) 2016年9月27日

線形代数の話．
斎藤毅『線形代数の世界』東京大学出版会による複素化（complexification*1）の定義は以下．

$V$ を $\mathbb{R}$ 線形空間とする．
$V \oplus V$ に，複素数によるスカラー倍を $(a+b\sqrt{-1})(x,y) = (ax-by, bx+ay)$ で定義することにより， $V \oplus V$ は $\mathbb{C}$ 線形空間になる．
これを， $V$ の複素化とよび， $V_{\mathbb{C}}$ で表す．

今のところ何に使うのか分かりませんが，複素多様体論とかで見かけたりするらしいです．
この定義を見たときに任意の体拡大についても拡大次元の数だけ元のベクトル空間のコピーをもってくれば同じことができるのでは，と思って調べてみたところ，それがテンソル積として統一的に定義できるという話でした．というか当たり前なんだけど同じ本にテンソル積 $\mathbb{C} \otimes _{\mathbb{R}} V$ と上で定義した $V _{\mathbb{C}}$ の間に同型があることも書いてありました．
他の所を見ると $V \otimes _{\mathbb{R}} \mathbb{C}$ を $V ^{\mathbb{C}}$ として複素化を定義していましたが（ツイートに書いたのはこっち），たぶん共変とか反変とかが関わってそうなのでこの辺で止めときます．

2016/09/28

今日のまとめ
余因子展開は便利なんか規則的な行列に対する帰納法とか
— meta / youdie (@meta9D4N) 2016年9月28日

これは確か小平邦彦編『新・数学の学び方』岩波書店あたりを読んでいるときに再確認したことだったかと思います。
それまで行列式を計算するときはグッとにらんで各成分の積を全部取りだしてきて，置換の符号を考えてから足す，みたいな非効率な方法で出していたので改めようと思いました．
高校生の時分にもあったような気がするのですが，一度覚えた手法に慣れると他の（時としてそちらの方が便利な）手法を忘れてしまっていることが多々ある．