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加法的関数とQ線型空間Rの基底(Cauchyの関数方程式の非線型解の存在)

Math.

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入試問題をのぞいていて興味深かったのと,少々日本語文献が見当たらなかったことから,自分用に少しまとめてみます.話題としては線型代数的な話なんですが,その要素は薄いです.

Cauchyの関数方程式

関数方程式は大学入試でもちらほら登場する話題で,関数形を特定させる過程で微分係数の定義などの理解を確かめることができるので重宝されている印象です.数学オリンピックにおいても頻出のようですが詳しくは知りません.

次の関数方程式を考えてみましょう.

Cauchy's functional equation
集合 V,W 上で加法が定義されているとする.写像 f:V \to W に対して
\forall x,y \in V \, s.t. \, f(x+y)=f(x)+f(y) \, \cdots (C)
Cauchyの関数方程式 という.上の方程式を満たす写像additive function という.

加法が定義された集合,は色々範囲を広げてみると楽しそうですが本稿では専ら線型空間,というか \mathbb Q とか \mathbb R を考えます.また,additive function(加法的関数)ですが,数論でいうところの加法的関数とは異なるので注意が必要です.線型性のうち加法についてのみcompatibleである(とでも言えばいいのでしょうか)ようなものを指しています.

簡単な観察から,線型な関数,すなわち上の加法性に加えてスカラー倍についても f(ax)=af(x) が成り立つようなものは加法的関数であることがわかります.目標としては,加法的だが線型でないような非自明な関数をみつけることです.

さて,適当な条件を加えることで (C) を解くことができます.(逆に言うと非線型解があるとすればこれから挙げるような都合の良い性質は一切持っていないということです)

f: \mathbb R \to \mathbb R が関数方程式 (C) を満たすとする.
fx=0微分可能ならば f は線型,すなわち f(x)=cx \, (c \in \mathbb R) である.
証明
f(0)=f(0)+f(0) より f(0)=0 である.
fx=0微分可能であることから \displaystyle f'(0)= \lim_{y \to 0} \frac {f(y)-f(0)}{y}=\lim _{y \to 0} \frac {f(y)}{y} が存在する.
\displaystyle \lim _{y \to 0} \frac {f(x+y)-f(x)}{y} = \lim _{y \to 0} \frac {f(y)}{y} より全ての実数 x について f'(x)=f'(0)
したがって f'(0)=c とおけば \displaystyle f(x)= \int f'(x) dx = cx+d の形であり,
f(0)=0 より f(x)=cx とわかる.
(証明終)

恐らくこれが最も簡単な場合で,関数方程式の例題として最初に触れるような難易度です.その他には以下のことを示すことができます.

f: \mathbb R \to \mathbb R(C) を満たすとする.
(1) f:連続ならば f:線型である.(Cauchy, 1821)
(2) f がどこか1点で連続ならば f:線型である.(Darboux, 1875)*1
(3) f:単調ならば f:線型である.
(4) fが任意の開区間有界ならば f:線型である.


非線型解の存在

上で掲げた (1)~(4)は全て以下の命題から従います.

f: \mathbb Q \to \mathbb Q(C) を満たすとすると, f:線型である.

同様に以下のことも成り立ちます.(証明は省略します.どちらも順番に整数の範囲→有理数の範囲,と確かめていくだけです)

f: \mathbb R \to \mathbb R(C) を満たすとすると,
全ての有理数 q と全ての実数 x に対して f(qx)=qf(x) が成り立つ.

ここからいよいよ加法的かつ線型でない関数をつくるのですが,ここまで御膳立てをすると割と想像がつく方もいるのかもしれません.\mathbb Q 線型空間 \mathbb R の基底を考えましょう.この基底が取れることは(選択公理と同値な)以下の命題から従います.

任意の線型空間には基底が存在する.

B\mathbb Q 線型空間 \mathbb R の基底とすると,任意の実数 x について \displaystyle x = \sum_{\lambda \in \Lambda} q_\lambda x_\lambda \, (q_\lambda \in \mathbb Q, \, x_\lambda \in B) と一意に表すことができます(ただし \Lambda は有限の添字集合).このように基底を設定してあげると,例えば fB への制限 f|_B を定値写像 f|_B (x)=1 で定めてあげれば,定義域を \mathbb R にまで広げることができて,上の基底に関する実数 x の表示を用いて \displaystyle f(x) = \sum_{\lambda \in \Lambda} q_\lambda と加法的な関数 f をつくることができます.この f が線型でないことは,値域が \mathbb Q なので \alpha \in \mathbb R \setminus \mathbb Q に対して一般に  f(\alpha x) \neq \alpha f(x) であることからすぐにわかります.

まとめ

ここで用いた \mathbb Q 線型空間 \mathbb R の基底のことを Hamel基底 とも言ったりするそうです.Cauchyの関数方程式の非線型解についてはこれ以外にも多くのことが知られているようなので興味のある各位は調べてみてください(投げっぱなしエンド).

参考文献

Sune K. Jakobsen, Cauchy's functional equation, 2010
著者不明, The Cauchy equation, 2002(ルトガース大学1,2年生セミナーの資料か?)
alg-d, 線型空間の基底の存在 : 選択公理 | 壱大整域, 2014

*1:CauchyとかDarbouxとかその辺りの年号は孫引きです…

2016年の話

Misc.

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2016年のまとめです.一切まとまっていませんがその辺よろしくお願いします.

進学選択

主にこれが一番大きな出来事でした.とはいえ勉強時間も何もまったく以前と変わっていないので中身も全く変わっていないというの本当のところです.オタク趣味についてはいったん熱を持ってしまうと冷めてしまってからは二度と戻らないみたいなところがありますが,こちらについては未だあまり熱を持っていないのでこれからやっていきがあるのではないかと期待しています.嘘ですが.そろそろキャリアについて考えなければならない年齢であって,憂鬱さがひどいです.

リトルウィッチアカデミア


今年は結構こちらが盛り上がっていたのではないでしょうか.劇場版の公開が2015年で,BDの発売が2016年1月,TVシリーズの発表が6月の宇宙パトロールルル子の最終回で行われ,放映が2017年1月からと根強い人気が伺えます.人が描いた絵が動いているというだけでこんなに感動できるものなのか,と劇場で思わず泣いてしまうくらいのものだったのでTVシリーズ版の尺でどこまでやってくれるのかとても楽しみにしています(既にインタビューで尺が足りないと書かれているのが気になるところですが…).あとは大島ミチルさんの劇伴がこの上なく素晴らしいのでそちらも注目です.

ゆゆ式


今年もゆゆ式の年でした.3月の同窓会イベントに運よく参加することができ,原作8巻も刊行,OVAの発表など非常に充実していました.個人的には無理に新作アニメや2期にこだわる必要は無いと思っている(例えばせっかく監督や構成,プロデューサーの方が揃っている場で無闇に2期の話などをして貴重な機会や時間を浪費させる無様なオタクにはなりたくない)のですが,それでもこうして展開が続いていくのは喜ばしいことには違いないと思うので今後も見守っていく所存です.

その他アニメ

通して観たアニメはほとんどなくて,ジョジョ4部とルル子くらいでした.前者は惰性で,特に終盤に関しては原作の方がよかったかなと感じられました.フリップフラッパーズと灼熱の卓球娘はどちらも途中まで観た後気力がなくなり力尽きています.冬なので.概ね作品の熱量が高く「これは良作だぞ」という匂いが感じられるとこちらも力んでしまい観るのにエネルギーを使ってしまうということがあります.インプットとアウトプットへの苦手意識を改善していけばいいのでしょうがわかりません.

ノートPC

大金をはたいて購入しました.ThinkPad X1 Yogaになります.正月に帰省した際にブログ記事を書くなどの用途に役立っております.タブレットモードもあり本体収納のスタイラスもあり,とかなり便利なのですがこちらの機能はあまり使いこなせていない感じです.手書きアノテーションなど出来たら楽しそうだなと考えています.当面はアルバイトでの日銭稼ぎに役立ってくれる予定で,将来的には本業(になるのか定かではないが)の方で活躍してくれたらと.

抱負

思い返して書く限り完全に虚無大臣という感じなので今年はもう少し頑張りたいと思います.冬にも大学に行ける身体.
あとは僕がやるブログというのはほぼほぼこのように放置される運命にあるのですが,メモ書き程度でも低級なことでもいいのでしっかり書いていく習慣をつけたいところです.アニメ感想ではなくて.既にもうなんかまったくまとまっていない(週1ですら何も生まれていない)のと敬愛する先生の作品によりよい文言を見つけたので,何か状況が好転し次第ブログタイトルを変えたいです.

川添愛『精霊の箱』感想

Review

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久々にきっちり本を読んだ気がするので感想的なものとかを置いておきます.

概要

川添愛『精霊の箱(上・下巻)』(東京大学出版会)は2013年刊行の同作者の『白と黒のとびら』の続編です.僕が大学入りたての頃に前作を読んで刺激を受けた記憶があるのですが,この辺りのことは頭痛がするので触れないでおきます.
『白と黒のとびら』はオートマトン形式言語がメインでチューリングマシンのさわりまで,『精霊の箱』はチューリングマシンとそれによる計算,といった部分を取り扱っており,それらをハイファンタジー世界における遺跡・古代言語・呪文・…といったガジェットに置き換えて解説するというかなり異色の入門書です.おおよその雰囲気はそれぞれ公開されている冒頭部分のPDFを見て頂けるとつかめるんじゃないかと思います.

書籍一覧・検索 » 白と黒のとびら - 東京大学出版会
書籍一覧・検索 » 精霊の箱 上 - 東京大学出版会

個人的にはこの本は素晴らしいのに構造的におすすめしにくいというのがあって,というのも「この本の~~が素晴らしい」と紹介しようとしても物語(清く正しいファンタジー冒険小説です)部分のネタバレに触れるわけにはいかず,かといって理論部分についても遺跡や古代言語の謎といった姿を借りて登場するそれらを主人公たる魔導師の弟子ガレット君(と読者)が解き明かしていく部分にこそカタルシスがあるので,どちらも詳しく触れづらいのです.後者についてはもしかしたら純粋な数学書でも「あの本のラストはファイブレーション定理の証明だよ」とか言われたらネタバレだと感じる人がいるのかもしれません.本当に?
とはいえ何も触れずに皆さん読んでみてくださいねという訳にはいかないので以下では多少のネタバレは辞さない方向で少し中身を紹介してみます.

感想



*1

下手に返信扱いにすると引用する際に重複して表示されてしまうという学びがあります.
最後の不満点についてですが,ガレット君は前作までや『精霊の箱』の序盤までは結構親近感の湧くような怠惰気味(しかしやるときはやる)な子なんですが,色々とやむにやまれぬ事情があり,真面目に修行をすることを余儀なくされます.その時の語りが以下のようなものでして.

そして何よりも、僕はあまり余計なことを考えなくなった。今までは、「強い魔術師になるために、もっと手っ取り早い方法があるんじゃないか」とか、「有能な他人がいくらでもいるのに、『僕』が成長しようとすることに、どれほど意味があるのか」などという考えがよく頭に浮かび、目の前のことを続ける気力が失せていた。しかし今は、そんなことを考えている時間がない。「手っ取り早い方法」もあるのかもしれないが、自分が今知らない以上は、ないに等しい。

とても厳しく,実感のこもった良い文章です.全編にこのような魔術師=研究者を目指すにあたっての心構えのように受け止められる部分がちょくちょく登場するので,特に大学生の読者にとっては刺激を受ける部分が多いんじゃないかと思います.
不満だと書いたのは,ガレット君の上記のような精神面での成長がやや性急に感じられたからです.作中で色々なことがあった故というのは分かるのですが,何分非常に読みやすく,サクサク進んでしまうのもそう思ってしまう一因かもしれません.あるいは自分自身を例にして怠惰な人間は怠惰なまま長いこと成長できないことを知っているので妬んでいるという説も有力です.いずれにしろ特に気にするほどでもないことを断っておきたいと思います。

また,今回続編であるところの今作を読むにあたって『白と黒のとびら』の方を数年振りに再読したのですが,持っている知識が増えたためか理論部分も余すことなく堪能することができました.



キャッチコピーと言っているのは『精霊の箱』上巻の帯の推薦文「人は土壇場のぎりぎりのところで何を選択するのか。」という浅井健一*2のものです.このフレーズは『白と黒のとびら』で重要な役割を果たしますが,それ以上に『精霊の箱』の最終決戦の結末においてもとても意義深いものになってきます.ガレット君だけでなく敵方を含めた登場人物全員の選択とその結末について考えてみると面白いかと思われます.

こういうイベントがあります

『精霊の箱 上・下』刊行記念 川添愛先生講演&サイン会 - 書泉/東京・秋葉原

本当はもう少し突っ込んだこと(呪文と装置の関係,その現実的な意味とか)を書こうとしていたんですが,時間がないのでとりあえず感想だけ上げておきます.
今日の講演会に参加して,また何かあったら関連した記事を書いてみたいと思います.

最後に,とても真摯にこれらの本の内容を紹介していらっしゃる記事を見つけたので紹介しておきます.

数学的原理に裏打ちされたファンタジー小説──『精霊の箱: チューリングマシンをめぐる冒険』 - 基本読書

まとまりませんがここら辺で.

*1:作中の「反転」の呪文はビットリバース(並びを左右対称に入れ替える)で,ビット演算のNOTのことではありません.このツイートは調べて書いてるうちに混同したものと思われます.

*2:ロック歌手ではない

週報 #6

Weekly matome

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慢性的な風邪からのインフルエンザ(と思しき高熱と全身症状)で優勝していました.
めちゃくちゃに厳しくなっています.

2016/10/31



大学の主催するピアノの演奏会に行ってきたのですが,無声映画(及び映像作品)を流しながら即興演奏をつけるという一風変わった試みで大変興味深かったです.
風景のタイムラプスには印象派的なものを,チャップリンには古典的な伴奏を,といった具合で特に形式に気を配っているようだった.
今思うとこの辺りで菌をもらったのではないかと思うがそれはそれ.

2016/11/01


死にました.

2016/11/02-04


身体的にも死を迎えた.

今週はお休みです

代わりに何かを上げたいですがいつも言っていて結局その通りになることは無かったのでそういうことです。

週報 #5

Weekly matome

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自転車通学を続けているためか疲れが出て眠りやすくなりました.

2016/10/24


この日のツイーがこれしかないので察して欲しいところ.
正直な話怠惰なせいもあって毎日進みが起きないことと,学びがあっても(たいしたことではないだろうと思うのもあって)わざわざ全て書きもしないというのがあるのでこういうことになってしまう.
まあ存続が怪しいのだけど続けるだけ続けて様子を見ます.

2016/10/25


ある線形空間 V の自己準同型 f:V \to V で,有限次元の一般固有空間 \widetilde{V_a} があると,その自己準同型 f の一般固有空間への制限 f \rvert _{\widetilde{V_a}} : \widetilde{V_a} \to \widetilde{V_a} の行列表示が,対角成分が全て a の上三角行列になるような \widetilde{V_a} の基底が存在する,という命題.
もちろん最小多項式や一般固有空間の定義に戻って,基底の延長とか色々なことを使って証明しないといけないのだけど,行列の世界でみるとツイートの通りあまりにあっけなく「見た通り」のことになるので改めて線形代数の威力を感じた次第.

2016/10/26


あの時君は虚無だった
わかってほしい 虚無の心

2016/10/27



任意の楕円関数 f \in E_L に対して有理式 F,G があって f(z) = F(\wp(z))+\wp'(z)G(\wp(z)) と表せるという話.
まだ勉強途中だが,そもそもWeierstrassのP関数が位数2の極を(周期平行四辺形内に)ひとつだけもつ基本的なものとして導入されたので,そのゴールとして他の楕円関数がそれだけを用いて表せるというのはとても綺麗で嬉しくなった.

2016/10/28


複素解析での一次分数変換に関する話題だったけれど,背景には射影幾何とかとの関連があるようなのでもう少し調べるかしてみたい.

週報 #4

Weekly matome

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自転車を譲り受けました.
お尻が痛かったり車道の無秩序さに怯えたりしていますが,人権無視労働者輸送箱を利用しなくてよいと思うと晴れやかな気分です.

2016/10/17


落とし物で見つけました.
ホモロジー代数とかやらなければならないのは分かってるんですが如何せん基本がなっていないので厳しい.

2016/10/18


明日.

2016/10/19


水曜日は大抵アルバイトをしているので書くことが無いのです.



この日はパスタ生活の準備を整えるなどした.

2016/10/20


保形関数論の授業を受けていて,先週は楕円曲線と複素トーラスの同相についてWeierstassの\wp関数で結びついていることを調べて知ったので授業で早々にその辺りまで行ったのは嬉しかった.
数学書を読んで自習するのがこの上なく苦手で,よく整理された授業より効率よく学べるものはないという状態はちょっとよろしくないと思うので改善していきたい.音声情報の方が残るとかそういうことも若干なくはなさそう…….

2016/10/21

この日は比較的虚無でした.複素関数論で\arccos zの主枝の導入などをやったのだけれどちょっと追いきれなかったのでフォローしておく.

週報も第4回です

ブログを始めて4週間弱ですが,全然進捗していなくて厳しいところがあります.
ただ習慣としては続けられなくもなさそうなのでほっとしています.

週報 #3

Weekly matome

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先週の週報をみて1週間以上風邪を引きずってしまったことに気付きました.
人生は気付きのゲーム.

2016/10/10

風邪を引いて一回休み.

2016/10/11


線形空間の基底の性質と部分空間の直和が取れるための条件について.

V線形空間x_1,\dots,x_n \in VV の生成系とするとき,以下は同値.
(1) x_1, \dots, x_nV の基底である.
(2) 全ての i=1,\dots,n に対し,x_i \not \in \langle x_1, \dots , x_{i-1} \rangle

V線形空間W_1,\dots,W_n \subset VV の部分空間とするとき,以下は同値.
(1) W_1 + \dots + W_n = W_1 \oplus \dots \oplus W_n である.
(2) 全ての i=1,\dots,n に対し,W_i \cap ( W_1 + \dots + W_{i-1} ) = 0

あんまり統一感が無いのでもうちょい付け足すと,
x_i \not \in \langle x_1, \dots , x_{i-1} \rangleKx_i \cap ( Kx_1 + \dots + Kx_{i-1} ) = 0 ということですね.
こういった当たり前のアナロジー,記憶喪失になると当たり前でなくなるので大切にしたいです.

2016/10/13


これを変に思ったのは多分楕円曲線\mathbb R上で考えているいつものあの形が頭にあったせいだと思う.
調べてみると結構手に負えない感じだったがただの同型でなく構造(複素数の可算)を保つ写像楕円曲線とトーラスの間にあることまでは把握できた.

2016/10/14

該当する記録が無い.余りに適当に過ぎる.

2016/10/15-16

オリエンテーションという名目で山奥に幽閉され無から無を生み出す様を観察したりなどしました.
山とか海とかは自然って感じで良さがありました.海は幻覚だったかもしれません.


数学女子は皆さん読みましょう.